Konsep Kilat: Simpulan Logis

Rangkuman materi logika matematika untuk persiapan UTBK, mencakup tabel kebenaran, ekuivalensi, hingga penarikan kesimpulan.

• 1. Konjungsi ()
• 2. Disjungsi ()
• 3. Implikasi ()
  • Pengembangan Implikasi
• 4. Biimplikasi ()
• 5. Ingkaran dan Ekuivalensi
  • Ingkaran (Negasi)
  • Ekuivalensi (Kesetaraan)
• 6. Tautologi dan Kontradiksi
• 7. Penarikan Kesimpulan
  • A. Modus Ponens
  • B. Modus Tollens
  • C. Silogisme

1. Konjungsi ($\wedge$)

Konjungsi adalah kalimat majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung "dan".

Aturan Kebenaran

Bernilai Benar (B) hanya jika kedua pernyataan bernilai Benar.

$p$	$q$	$p\wedge q$
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

2. Disjungsi ($\vee$)

Disjungsi adalah kalimat majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung "atau".

Aturan Kebenaran

Bernilai Salah (S) hanya jika kedua pernyataan bernilai Salah.

$p$	$q$	$p\vee q$
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

3. Implikasi ($\Rightarrow$)

Implikasi adalah kalimat majemuk yang ditandai dengan "jika ..., maka ...".

Pengecualian Penting

Hanya bernilai Salah (S) jika sebab ($p$) Benar tetapi akibat ($q$) Salah. (Benar $\to$ Salah = Salah)

$p$	$q$	$p\Rightarrow q$
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Pengembangan Implikasi

Dari sebuah implikasi $p\Rightarrow q$, dapat dibentuk pernyataan lain:

Istilah	Bentuk	Keterangan
Konvers	$q\Rightarrow p$	Menukar posisi sebab dan akibat.
Invers	$\sim p\Rightarrow \sim q$	Menegasikan kedua pernyataan.
Kontraposisi	$\sim q\Rightarrow \sim p$	Menukar posisi DAN menegasikan keduanya.

Ekuivalensi

• Implikasi setara dengan Kontraposisi ($p\Rightarrow q\equiv \sim q\Rightarrow \sim p$)
• Konvers setara dengan Invers ($q\Rightarrow p\equiv \sim p\Rightarrow \sim q$)

4. Biimplikasi ($\iff$)

Kalimat majemuk yang ditandai dengan "... jika dan hanya jika ...".

Aturan Kebenaran

Bernilai Benar (B) jika kedua pernyataan memiliki nilai kebenaran yang sama (keduanya Benar atau keduanya Salah).

$p$	$q$	$p\iff q$
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

5. Ingkaran dan Ekuivalensi

Berikut adalah rumus-rumus penting untuk merubah bentuk kalimat logika atau mencari negasinya (ingkaran).

Ingkaran (Negasi)

Jenis Kalimat	Bentuk Awal	Ingkaran ($\sim$)
Konjungsi	$p\wedge q$	$\sim p\vee \sim q$
Disjungsi	$p\vee q$	$\sim p\wedge \sim q$
Implikasi	$p\Rightarrow q$	$p\wedge \sim q$
Biimplikasi	$p\iff q$	$(p\wedge \sim q)\vee (q\wedge \sim p)$

Ekuivalensi (Kesetaraan)

Sering digunakan untuk menyederhanakan soal penarikan kesimpulan.

1. Ekuivalensi Implikasi:

   $$p\Rightarrow q\equiv \sim q\Rightarrow \sim p\equiv \sim p\vee q$$

2. Ekuivalensi Biimplikasi:

   $$p\iff q\equiv (p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p)$$

6. Tautologi dan Kontradiksi

• Tautologi: Kalimat majemuk yang selalu bernilai BENAR untuk setiap kemungkinan premisnya.
• Kontradiksi: Kalimat majemuk yang selalu bernilai SALAH untuk setiap kemungkinan premisnya.

7. Penarikan Kesimpulan

Tiga metode sah (valid) dalam menarik kesimpulan dari premis-premis yang ada.

A. Modus Ponens

Jika diketahui $p\Rightarrow q$ dan terjadi $p$, maka kesimpulannya $q$.

$$\begin{array}{rl}\text{Premis 1}& :p\Rightarrow q\\ \text{Premis 2}& :p\\ \text{Kesimpulan}& :q\end{array}$$

B. Modus Tollens

Jika diketahui $p\Rightarrow q$ namun yang terjadi adalah $\sim q$ (bukan $q$), maka kesimpulannya $\sim p$.

$$\begin{array}{rl}\text{Premis 1}& :p\Rightarrow q\\ \text{Premis 2}& :\sim q\\ \text{Kesimpulan}& :\sim p\end{array}$$

C. Silogisme

Penarikan kesimpulan berantai. Jika $p$ menyebabkan $q$, dan $q$ menyebabkan $r$, maka $p$ menyebabkan $r$.

$$\begin{array}{rl}\text{Premis 1}& :p\Rightarrow q\\ \text{Premis 2}& :q\Rightarrow r\\ \text{Kesimpulan}& :p\Rightarrow r\end{array}$$